Les deux photos montrent une balançoire pour enfant et la Grande Roue. Ces deux systèmes sont constitués par des corps solides qui ont un mouvement de rotation autour d’un axe fixe. Qu’est-ce qu’un mouvement de rotation ? et quelles sont ses caractéristiques ?

La différence entre un mouvement de translation et un mouvement de rotation

Décrire le mouvement d’un corps c’est connaître le mouvement de chacun de ses points.
L’ensemble des positions prises par un point au cours du mouvement est appelé trajectoire.

Un solide est en mouvement de translation lorsque tout segment joignant deux points quelconques de ce solide reste parallèle à lui-même.

Alors, pour un solide en translation, il nous suffit de connaître la trajectoire d’un de ses points pour avoir le mouvement du solide.

Un solide indéformable est dit en rotation autour d’un axe fixe si le mouvement de chacun de ses points est circulaire centré sur cet axe

et la trajectoire de ces points mobiles appartient au plan orthogonal avec l’axe de rotation.

Les aiguilles d’une montre, le tambour d’une machine à laver, une porte…

Etude d’un mouvement circulaire

Repérage d’un point d’un corps solide en mouvement de rotation

Si on travaille dans un plan, on choisit un plan R (O, i, j), et la position est alors déterminée par son abscisse ‘x’ et par son ordonné ‘y’.
Si on travaille dans l’espace, on prend un repère R (O, i, j, k), et la position est alors déterminée par les trois coordonnées x, y et z.

Abscisse angulaire

On appelle l’abscisse angulaire du point M à un instant t donné la valeur algébrique de l’angle $θ = (O M_{1}, O M_{2})$

Abscisse curviligne

Si la trajectoire que suit le point M est connue, il est possible de repérer le point M sur la courbe $M_{1} M_{2}$ représentant cette trajectoire.
On prend sur la courbe orientée selon le sens du mouvement un point origine A et on prend la direction de l’axe OM1 comme direction référentiel.
On définit l’abscisse curviligne s comme la mesure algébrique sur la courbe de l’arc s= $A M$ en mètre.

Relation entre s(t) et Ө(t)

On prend comme rayon de la trajectoire orientée du point M, la position de ce point sur cette trajectoire est définie grâce à son abscisse curviligne s(t) et de son abscisse angulaire Ө(t) qui sont reliés par la relation :

On prend R=OM comme rayon de la trajectoire orientée du point M, la position de ce point sur cette trajectoire est définie grâce à son abscisse curviligne s(t) et de son abscisse angulaire Ө(t) qui sont reliés par la relation :

$s (t) = R \times θ (t)$

Vitesse angulaire

Au cours d’une rotation, plus un point est éloigné de l’axe, plus la longueur de l’arc décrit est grande : M1M2 > P1P2 car M plus loin de l’axe que P.
Les points du solide n’ont donc pas la même vitesse.

En revanche, ils décrivent tous le même angle, il est donc intéressant de caractériser le mouvement par la rapidité de la variation de cet angle. Pour cela on utilise la notion de vitesse angulaire.

D’où :

$ω_{moy} = \frac{θ}{Δ t}$

$ω_{moy}$ : vitesse angulaire moyenne (rad/s)
$θ$ : Angle de rotation (rad)
$Δ t$ : Durée de la rotation (s)

Pour avoir la vitesse angulaire instantanée, on procède comme pour une vitesse, on prend la vitesse angulaire moyenne entre deux instants très proches.

Relation entre vitesse linéaire et vitesse angulaire

En faisant un parallèle avec le fait que le périmètre d’un cercle se calcule par 2 $π$ ×r On peut en déduire que :

l = r × $θ$

D’où :

$1 = r \times θ V = \frac{l}{Δ t} = \frac{r \times θ}{Δ t} = r \times ω$

Rappel important :

$2 π = 36 0^{\circ}$

Pour passer du radian au degré on utilise la relation de trois.

Mouvement de rotation uniforme

On dit qu’un solide est en mouvement de rotation uniforme autour d’un axe fixe si sa vitesse angulaire $ω$ est constante.
Le mouvement se produit donc à des intervalles de temps réguliers, on dit que c’est un mouvement périodique.

La période T : c’est la durée au bout de laquelle un point décrit un tour complet. Son unité est la seconde (s)

La fréquence f : c’est le nombre de périodes par seconde. Ou encore le nombre de tours effectués par seconde, son unité et le Hertz (Hz). Ces deux paramètres sont reliés par la relation :

$f = \frac{1}{T}$

On a $V = \frac{s}{Δ t}$ et comme la vitesse d’un point est constante au cours du mouvement, on peut raisonner sur un seul tour, pour arriver à l’expression de la vitesse linéaire V du point mobile en fonction du rayon de la trajectoire R et de la période T : $V = \frac{2 π R}{T} = 2 π R f$
Sachant que $V = R . ω$ et par identification dans la relation précédente on trouve l’expression de la vitesse angulaire $ω$ du point mobile en fonction de la période T :

$ω = 2 π f = \frac{2 π}{T}$

Equation horaire

Le mouvement d’un point mobile M est connu si les couples (Ө ; t) sont définis pour toutes les positions de M.

On choisit un repère d’espace et un repère de temps

Alors l’équation horaire d’un mouvement est : $θ = f (t)$ Dans laquelle Ө est l’abscisse angulaire du point à la l’instant t.

Conclusion

Un solide est en mouvement de translation lorsque tout segment joignant deux points quelconques de ce solide reste parallèle à lui-même. Et on dit qu’il est en rotation autour d’un axe fixe si le mouvement de chacun de ses points est circulaire centré sur cet axe et la trajectoire de ces points mobiles appartient au plan orthogonal avec l’axe de rotation. Et finalement, On dit qu’il est en mouvement de rotation uniforme autour d’un axe fixe si sa vitesse angulaire $ω$ est constante