Après l’étude du miroir plan qui intervient quelque fois dans les instruments d’optique, nous allons voir un des composants essentiels des instruments, les lentilles. La plus « simple » d’entre elles est la lentille convergente, c’est celle que nous étudions ici. On va voir comment, par des schémas géométriques, on peut modéliser l’action d’une lentille convergente sur la lumière. Nous verrons également que pour utiliser ces lentilles en pratique, il convient de connaître certaines grandeurs qui leur sont associées, et de les utiliser dans des relations mathématiques.

→ Qu’est-ce qu’une lentille mince convergente ?

→ Quelles sont les caractéristiques des lentilles minces convergentes ?

→ Image formée par une lentille convergente.

→ Description de l’image pour différentes positions de l’objet.

→ Les relations de conjugaison et de grandissement.

Généralités sur les lentilles minces

Les différents types de lentilles

Il existe deux types de lentilles minces différentiables aux toucher ou par le biais de méthodes expérimentales que nous n’étudierons pas ici (hors programme).

On distingue les lentilles dites :

⇒ Convergentes à bords minces que l’on schématise ainsi :

⇒ Divergentes à bords épais que l’on schématisera de cette manière :

Effet d'une lentille convergente sur un faisceau lumineux

→ Les lentilles convergentes transforment le faisceau parallèle de la lampe en un faisceau convergent en un point.

→ Les lentilles divergentes font diverger, c'est-à-dire s'écarter, le faisceau et on observe une grosse tache lumineuse.

Caractéristiques des lentilles minces convergentes

L'axe optique principal – le centre optique

Approche expérimentale

Plaçons une lentille convergente entre le soleil et une feuille de papier. Il existe une distance lentille-feuille qui permet de visualiser un point lumineux sur la feuille qui peut s’enflammer si on poursuit suffisamment longtemps l’expérience.

⇒ Cette distance est appelé distance focale. Elle sépare la lentille de son foyer (F), point sur l’axe optique où tous les rayons lumineux convergent.

On définit O, le centre optique comme le point d’intersection entre l’axe optique et la lentille.

Foyer principal image et Foyer principal objet

Lorsqu’un miroir, Une lentille convergente comporte deux foyers, appelés foyer principal objet et foyer principal image :

→ Tout rayon incident parallèle à l’axe optique émerge en passant par F’, foyer principal image. Ce foyer est donc l’image d’un objet à l’infini.

→ Tout rayon incident passant par F, foyer principal objet, émerge parallèle à l’axe optique. Ce foyer a donc son image à l’infini.

→ Ces foyers sont symétriques par rapport au centre optique de la lentille.

Les foyers F et F’ sont symétriques par rapport au centre optique.

Distances focales

⇒ On appelle distance focale objet la grandeur f OF (f 0 pour une lentille convergente et |f|=f ’).

⇒ On nomme distance focale image (utilisée en pratique) la grandeur f1 OF 1 mesurée sur l’axe optique orienté dans le sens de propagation de la lumière (f’¡0 pour une lentille convergente).

Vergence d’une lentille convergente

Image formée par une lentille convergente

Objets et images réels et virtuels

Définition

On appelle objet (ponctuel) le point d’intersection des rayons incidents au système optique. Celui-ci est réel si tous les rayons qui lui parviennent sont réels (la source peut être ”touchée”). Un objet réel est situé à gauche de la lentille.

Un objet est virtuel si au moins un des rayons qui lui parviennent est virtuel.

Un objet virtuel est situé à droite de la lentille.
L’image d’un objet par une lentille est l’intersection des rayons qui parviennent sur le système optique.

Une image est réelle si tous les rayons qui lui parviennent sont réels (elle peut ˆêtre recueillie sur un récepteur).

Une image réelle est située à droite de la lentille.

Une image est virtuelle si au moins un des rayons qui lui parviennent est virtuel.
Une image virtuelle est située à gauche de la lentille.

Rayons particuliers

Il y a trois rayons particuliers que l’on peut utiliser lors des différents tracés :

→ Un rayon parallèle à l’axe optique : il ressort en passant par F’.

→ Un rayon passant par F : il ressort parallèle à l’axe.

→ Un rayon passant par O : il n’est pas dévié.

Description de l’image pour différentes positions de l’objet

Conditions de Gauss

L'image donnée par la lentille est bonne si elle est nette, non irisée et non déformée.

Pour que la lentille donne une image nette elle doit donner à chaque point A de l'objet un seul point image A' (On dit qu'il y a stigmatisme rigoureux).

Pour cela il est nécessaire de se trouver dans les conditions de Gauss.

Conditions de Gauss:

Une lentille donne d'un objet ponctuel AB une image ponctuelle A’B’ si :

- les rayons sont peu inclinés sur l'axe optique.

- les rayons sont proches de l'axe optique..

Modélisation d’image dans différents cas

Construction de l’image réelle d’un objet réel par une lentille convergente :

⇒ Objet placé avant le foyer principal objet F : AO>f'

Cas ou l'objet est situé à une distance :

$A O > 2 f^{'}$

Cas ou l'objet est situé à une distance :

$2 f^{'} > A O > f^{'}$

L'objet AB est réel (car il se trouve dans l'espace objet)

L'image A'B' :

- est réelle (car elle se trouve dans l'espace image)

- Elle est renversée.

- Elle est plus petite que l'objet.

L'objet AB est réel (car il se trouve dans l'espace objet)

L'image A'B' :

- est réelle (car elle se trouve dans l'espace image)

- Elle est renversée.

- Elle est plus grande que l'objet.

⇒ Objet placé au foyer principal objet F de la lentille :

$A O < f$ soit $O A = O F = f < 0$

L'objet AB est réel (car il se trouve dans l'espace objet). L'image A'B' Se trouve à l’infini.

Construction de l’image virtuelle d’un objet réel par une lentille convergente :

Objet placé entre le foyer principal objet F et la lentille : AO < f

L'image A'B' :

est virtuelle (car elle se trouve dans l'espace objet)
Elle est droite (non renversée).
Elle est plus grande que l'objet.

En plaçant l'objet entre la loupe et son plan focal objet, on obtient une image droite et agrandie que l'œil peut observer en se plaçant sur le trajet de la lumière émergente.

Relation de conjugaison et grandissement

Relation de conjugaison de Descartes

La position de l’image d’un objet par rapport à une lentille mince convergente ne dépend que de la distance focale f de la lentille : il existe une relation liant la position de l’objet et la position de son image (à travers la lentille convergente), cette relation s’appelle la relation de conjugaison :

$C = \frac{1}{f ^{'}} = \frac{1}{O A ^{'}} - \frac{1}{O A}$

Démonstration :

D’après la figure précédente, on remarque que les triangles IOF’ et IJB’ sont homothétiques (semblables) :

$\frac{O F ^{'}}{J B ^{'}} = \frac{I O}{I J}$

D’après la figure précédente, on remarque que les triangles JOF et JIB sont homothétiques (semblables) :

$\frac{O F}{I B} = \frac{J O}{J I}$

En faisant la somme membre à membre on obtient :

$\frac{O F ^{'}}{J B ^{'}} + \frac{O F}{I B} = \frac{I O}{I J} + \frac{J O}{J I} = \frac{I O}{I J} + \frac{O J}{I J} = 1$

Et puisque :

${O F^{'} = f^{'} et O F = - f = f^{'} J B^{'} = O A^{'} et I B = O A$

Alors :

$\frac{f ^{'}}{O A ^{'}} + \frac{- f ^{'}}{O A} = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{O A ^{'}} - \frac{1}{O A} = \frac{1}{f ^{'}}$

Relation de grandissement

Il existe une relation, appelée grandissement, entre la grandeur de l’objet et celle de l’image :

$Υ = \frac{A B ^{'}}{A B} = \frac{O A ^{'}}{O A}$

Puisque les deux triangles semblables OAB et OA’B’ alors :

$\frac{A B ^{'}}{A B} = \frac{O A ^{'}}{O A}$

Sens de ϒ	ϒ<0	ϒ>0
Sens de l’image	Image et objet sont de sens contraire	Image et objet sont de même sens

Valeur de ϒ	-1<ϒ<1	ϒ<-1 ou ϒ>1
Taille de l’image	Plus petite que L’objet	Plus grande que l’objet

⇒ Conditions de gauss🡺{les rayons sont peu inclinés sur l'axe optique. les rayons sont proches de l'axeoptique.

La vergence d’une lentille convergente : $C = \frac{1}{f ^{'}} = \frac{1}{O F ^{'}}$