Dans ce cours, on essayera d’expliquer la relation interdépendante entre les deux énergies cinétique et potentielle de pesanteur, qui se réunissent sous forme d’une énergie mécanique. Qu’est qu’une énergie mécanique ? est-ce qu’elle se conserve ou non ?

Qu’est-ce qu’une énergie mécanique ?

Dans un repère donné, à un instant t, l'énergie mécanique d'un solide de masse m, est l'énergie qu'il possède de par sa position et son état de mouvement c’est-à-dire c’est la somme de son énergie cinétique et son énergie potentielle de pesanteur à cet instant. Son expression est donc : $E_{m} = E_{c} + E_{pp}$ en Joule (J) L'énergie mécanique, comme l'énergie potentielle, dépend de l'origine des altitudes elle est donc définie à une constante additive près.

Dans le cas d'un solide en translation

L'énergie d'un solide de masse M, animé d'un mouvement de translation à la vitesse V s'exprime sous la forme :

$E_{m} = \frac{1}{2} \cdot M . V^{2} + M g z + C$

Avec :

L'axe vertical (Oz) est orienté vers le haut
Em : l’énergie mécanique du corps solide dans le champ de pesanteur en Joule (J)
$C$ : constante
$g$ : L’intensité de la pesanteur qui prend la valeur 9.81 Kg/N
$z$ : l’altitude du point considéré

Dans le cas d'un solide en rotation

L'énergie d'un solide de masse M, animé d'un mouvement de rotation à la vitesse angulaire $ω$ et de moment d’inertie JΔ s'exprime sous la forme :

$E_{m} = \frac{1}{2} \cdot J_{Δ} \cdot ω^{2} + M g (z - z_{0})$

Conservation de l’énergie mécanique

Qu’est-ce qu’un système conservatif ?

Un système est conservatif s'il n'échange de l'énergie ni par travail, ni par chaleur, ni par rayonnement avec le milieu extérieur, alors son énergie mécanique est constante. Dans le cas de l’absence de frottements on aura alors :

$E m = Cste = E_{c} + E_{p p} Et E_{m} (t_{2}) - E_{m} (t_{1}) = 0$

Avec t1 et t2 sont deux instants différents

Cas d’une chute libre

Soit un corps solide de masse M en chute libre verticale.

Bilan des forces :

Le poids $P$

On calcule la différence de pesanteur entre A et B, on trouve :

$Δ E_{p p} = M . g \cdot (Z_{A} - Z_{B})$

Et d’après le théorème de l’énergie cinétique, on a :

$E_{c} = W (P) = M \cdot g \cdot H = M \cdot g \cdot (Z_{A} - Z_{B})$

D’où :

$Δ E_{pp} = - Δ E_{c}$

D’autre part, on a après calcul simple :

$Δ E_{m} = E_{m} (A) - E_{m} (B) = 0$

C’est-à-dire :

$E_{m} (A) = E_{m} (B)$

→ D’où la conservation de l’énergie mécanique.

Cas d’un glissement d’un corps solide sans frottement sur le plan incliné

Considérons un corps solide (S) en mouvement de translation rectiligne sans frottement, sur un plan incliné d’un angle α par rapport à l’horizontale, selon sa ligne de plus grande pente. Le solide (S) est soumis à son poids P et à l’action R du plan ( $R$ est perpendiculaire au plan incliné). Lorsque le centre de gravité G du solide (S) passe de la position GA à la position GB. On écrit donc:

$Δ E_{pp} = - W (P) Δ E_{c} = E_{c} (B) - E_{c} (A) = W (P) + W (R) Comme W (R) = 0 Alors E_{c} (B) - E_{c} (A) = W (P) Donc E_{c} (A) + E_{p} (A) = E_{c} (B) + E_{p} (B) D’o u ˋ E_{m} (A) = E_{m} (B)$

→ D’où la conservation de l’énergie mécanique.

Non conservation de l’énergie mécanique

Au cas où d'autres forces( $R$ ) que le poids travaille, tel que les forces qui modélise la réaction du milieu, le même raisonnement conduit au résultat suivant :

$Δ E_{c} = E_{c} (B) - E_{c} (A) = W (P) + W (R)$

Alors : $Δ E_{c} = - Δ E_{pp} + W (R)$
Donc : $Δ E_{c} + Δ E_{pp} = W (R)$
C’est-à-dire : $Δ E_{m} = W (R)$

Conclusion

L'énergie mécanique d'un solide de masse m, est l'énergie qu'il possède de par sa position et son état de mouvement c’est-à-dire c’est la somme de son énergie cinétique et son énergie potentielle de pesanteur à un instant. Cette énergie peut être conservative ou non conservative selon la nature et le type des forces appliquées sur le solide, et dans ce cas dernier, la variation de l'énergie mécanique du système est égale au travail des autres forces que le poids.