Le produit scalaire dans l'espace

Définition, vocabulaire et conséquences

Vocabulaire et conséquences :

Soient $u$ et $v$ deux vecteurs de l'espace vectoriel $V_{3}$ tels que:

$u = O A et v = O B$

$(O, A$ et $B$ sont des points de l'espace)

a. Si $u = 0$ ou $v = 0$ alors $u \cdot v = 0$

b. On pose $u^{2} = u \cdot u$ et on appelle $u^{2} :$ Le carré scalaire du vecteur $u$ (comme dans le plan) et on a :

norme de $u$ est $O A$ (distance entre $O$ et $A$ ) notée $∥ u ∥$ et on a $: ∥ u ∥ = u^{2}$

c. Si $∥ u ∥ = 1$ , on dit que le vecteur $u$ est unitaire.

d. Si $u$ et $v$ sont non nuls et $H$ est le projeté orthogonal du point $B$ sur la droite $(O A)$ et $θ$ est la mesure, (en radian) de l'angle géométrique $AOB$ où $0 \leq θ \leq π$ alors:

$u \cdot v = O A \cdot O H u \cdot v = O A \times O B cos (A O B) u \cdot v = ∥ u ∥ \cdot ∥ v ∥ cos (θ)$

Symétrie et bilinéarité du produit scalaire

Orthogonalité de deux vecteurs

Expression analytique du produit scalaire dans l'espace

Base orthogonale , repère orthogonal

Base orthonormée , repère orthonormé

Expression analytique du produit scalaire et de la norme d'un vecteur

Plan défini par un point et un vecteur normal

Vecteur normal à un plan

Droite passant par un point et perpendiculaire à un plan

Résultats :

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé, on considère le point $A (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ et le plan $(P)$ d'équation $a x + b y + cz + d = 0$

Une représentation paramétrique de la droite qui passe par $A$ et perpendiculaire au plan $(P)$ est :

$⎩ ⎨ ⎧ x = x_{0} + k a y = y_{0} + k b z = z_{0} + k c k \in R$

Parallélisme de deux plans

Orthogonalité de deux plans

Distance d'un point à un plan

Etude analytique de la sphère

Equation d'une sphère définie par son centre et son rayon

Equation d'une sphère définie par un diamètre

Représentation paramétrique d'une sphère

$(O, i, j, k)$ est un repère de l'espace. Imaginons un personnage, appelé observateur d'Ampère, placé sur l'axe $(O, k)$ , les pieds en $O$ , regarde l'axe $(O, i)$ à sa droite et l'axe $(O, j)$ à sa gauche.

On dit que le repère orthonormé $(O, i, j, k)$ est direct.

Positions relatives d'un plan et d'une sphère

Soit $H$ le projeté orthogonal de $I$ sur $P$

$(P)$ est tangent à la sphère $(S)$

$(P)$ est tangent à la sphère $(S)$

$$(\mathscr{C})$ est le cercle de centre $H$ et de rayon $r$; contenu dans le plan$

$(C)$ est le cercle de centre $H$ et de rayon $r$ , contenu dans le plan

Le produit scalaire dans l'espace

Définition, vocabulaire et conséquences

Symétrie et bilinéarité du produit scalaire

Orthogonalité de deux vecteurs

Expression analytique du produit scalaire dans l'espace

Base orthogonale , repère orthogonal

Base orthonormée , repère orthonormé

Expression analytique du produit scalaire et de la norme d'un vecteur

Plan défini par un point et un vecteur normal

Vecteur normal à un plan

Droite passant par un point et perpendiculaire à un plan

Parallélisme de deux plans

Orthogonalité de deux plans

Distance d'un point à un plan

Etude analytique de la sphère

Equation d'une sphère définie par son centre et son rayon

Equation d'une sphère définie par un diamètre

Représentation paramétrique d'une sphère

Positions relatives d'un plan et d'une sphère

Equation du plan tangent à une sphère en un point

Positions relatives d'une droite et d'une sphère