Les ondes progressives périodiques

Les phénomènes périodiques

Un phénomène périodique est un phénomène qui se répète identiquement à lui-même à des Intervalles de temps réguliers.

Exemples d'ondes mécaniques progressives périodiques

Ondes à la surface de l'eau

L'onde mécanique circulaire crée par une pointe vibrante qui se propage à la surface de l'eau est périodique.

La période temporelle $T$ de l'onde est la durée au bout de laquelle un point du milieu de propagation se retrouve dans le milieu état vibratoire. Cette période est égale à celle du vibreur.

Sa fréquence $f = \frac{1}{T}$

Ondes sonores

Le son émis par une guitare est une onde progressive périodique de période temporelle $T$ . Dans le cas d'un diapason, le son émis est une onde progressive sinusoïdale.

Double périodicité

Périodicité temporelle

La période T d'une onde progressive périodique est la durée minimale au bout de laquelle l'onde se répète identiquement à elle-même. Elle s'exprime en seconde (s).

On un point $x$ donné, $f (x, t) = f (x, t + T)$

Périodicité spatiale

La longueur d'onde $λ$ d'une onde progressive périodique est la distance minimale séparant deux positions vibrant en phase.

A un instant donné, on a: $f (x, t) = f (x + λ, t)$

Une onde progressive périodique présente une double périodicité :

Une périodicité temporelle, de période T ;
Une périodicité spatiale, de période $λ$ .

Ondes progressives périodiques sinusoïdales

Définition

Une onde progressive périodique est sinusoïdale si son élongation s'écrit sous forme d'une fonction sinusoïdale : $x (t) = X_{m} \cdot cos (\frac{2 π}{T} t + φ)$

$X_{m}$ : I'amplitude de l'onde

$T$ : période temporelle

$φ$ : phase à l'origine

Relation entre longueur d'onde et période

Pour une onde progressive périodique sinusoïdale, la longueur d'onde $λ$ est la distance parcourue par l'onde pendant une période $T : λ = v \cdot T = \frac{v}{f}$ v étant la célérité de l'onde.

Etats vibratoires et longueur d'onde

a- Deux points $M_{1}$ et $M_{2}$ appartenant au même de milieu de propagation sont en phase si la distance qui les sépare est multiple entier de la longueur d'onde $λ : M_{1} M_{2} = k λ$ k nombre entier.

A un instant $t$ donné

b- Deux points $M_{1}$ et $M_{2}$ appartenant au même milieu de propagation sont en opposition de phase si la distance qui les sépare est un multiple impair de la moitié de la longueur d'onde :

$M_{1} M_{2} = (2 k + 1) \frac{λ}{2}$

La diffraction d'ondes mécaniques sinusoïdales

Mise en évidence

Diffraction sur la cuve à onde

Le phénomène de diffraction est caractéristique des ondes.

Ce phénomène se manifeste si les dimensions d'une ouverture ou d'un obstacle sont du même ordre de grandeur que la longueur d'onde.

L'onde diffractée a la même fréquence et la même longueur d'onde que l'onde incidente.

Lorsqu'une onde mécanique progressive sinusoïdale rencontre un obstacle dont les dimensions sont de même ordre de grandeur que sa longueur d'onde, elle change de direction de propagation d'un angle $θ$ tel que $θ = \frac{λ}{a}$

Diffraction des ondes sonores

Un émetteur d'ultrasons de fréquence $f = 41, 7 kHz (λ = 8, 3 mm)$ est placé devant un écran percé d'une fente dont on peut varier la largeur a. on capte, à l'aide d'un récepteur relié à un système d'acquisition (oscilloscope), les ondes ultrasonores derrière l'écran.

On déplace, pour différentes largeurs de la fente, le récepteur derrière l'écran. On relève l'amplitude des ultrasons pour différentes valeurs de l'angle $α$ .

On constate que :

- Si l'ouverture est large $(a > λ)$ , le récepteur ne détecte rien en dehors d'une zone très étroite autour de la direction principale de propagation : l'onde ultrasonore n'est pas diffractée.

- Si l'ouverture est étroite $(a \leq λ)$ , le récepteur capte des ondes ultrasonores au-delà de la direction principale de propagation : les ultrasons sont diffractées.

Diffraction des ondes mécaniques dans la nature

Phénomène de dispersion

Un milieu est dit dispersif si la célérité d'une onde dans ce milieu dépend de la fréquence de l'onde. Tous les milieux matériels sont plus ou moins dispersifs :

- L'eau est un milieu dispersif

- L'air n'est pas un milieu dispersif pour les ondes sonores habituelles. L'air devient dispersif si l'amplitude des ondes sonores devient importante.