Les ensembles de nombres N, Z, Q, D et R

Les nombres entiers

L'ensemble N

[kezakoo section ="definition"] Les nombres entier naturels forment un ensemble appelé ensemble des nombres entiers naturels qu'on note $N$

L'ensemble $N$ est formé des nombres $0, 1, 2, 3.......$

On écrit $N = {0, 1, 2, 3........}$ , on appelle cette écriture une écriture par extension de l'ensemble $N$
Lorsqu'on prive l'ensemble $N$ de $0$ , on obtient l'ensemble $N^{*} = {1, 2, 3........}$

Clairement, $N^{*} \subset N$

[kezakoo section ="remarque"]

$N$ n'est pas stable pour la soustraction : par exemple 2-3 = -1 n'est pas dans $N$ .

L'ensemble Z

Les nombres entiers relatifs forment un ensemble appelé ensemble des nombres entiers relatifs et on le note $Z$

L'ensemble $N$ est formé des nombres $.... - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3.......$

On écrit $Z = {.... - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3........}$ , on appelle cette écriture une écriture par extension de l'ensemble $Z$
Lorsqu'on prive l'ensemble $Z$ de $0$ , on obtient l'ensemble $Z^{*} = {- 3, - 2, - 1, 1, 2, 3........}$ , on a $Z^{*} \subset Z$
L'ensemble ${0, 1, 2, 3........}$ est dit ensemble des entiers positifs , il est donc noté $Z^{+}$ ou encore $N$ . On a donc $Z^{+} \subset Z$ ou encore $N \subset Z$
L'ensemble ${1, 2, 3........}$ est dit ensemble des entiers positifs strictement positifs , il est donc noté $Z^{+*}$ , et on a $Z^{+*}$ = $N *$ .
L'ensemble ${0, - 1, - 2, - 3........}$ est dit ensemble des entiers négatifs , il est donc noté $Z^{-}$ . On a donc $Z^{-} \subset Z$
L'ensemble ${- 1, - 2, - 3........}$ est dit ensemble des entiers strictement négatifs , il est donc noté $Z^{-*}$ . On a donc $Z^{-*} \subset Z$

[kezakoo section ="remarque"]

Contrairement à l'ensemble $N$ , $Z$ est stable pour la soustraction , c'est à dire que pour tous élements a et b de $Z$ , a-b reste toujours un élément de $Z$

Les nombres décimaux

[kezakoo section ="definition"]

Ce sont les nombres qui peuvent s'écrire comme quotient d'un entier relatif par une puissance d'exposant positif de 10 : Un nombre est décimal s'il peut s'écrire $\frac{a}{1 0 ^{n}}$ , $a$ appartenant à $Z$ et $n$ à $N$ .

Exemples : 34,8 (= 348/10) ; -0,65 (= -65/100) ; 2 (= 2/1) sont des nombres décimaux. L'ensemble des nombres décimaux est noté $D$ .

On écrit alors $D = {\frac{a}{1 0 ^{n}} / a \in Z, n \in N}$

[kezakoo section ="attention"]

Certains nombres rationnels ne sont pas des nombres décimaux, par exemple $2/3 = 0, 6666.....$ n'est pas un nombre décimal.

[kezakoo section ="remarque"]

$8 = \frac{8}{1} = \frac{8}{1 0 ^{0}} \in D$

De même , $- 18 = \frac{- 18}{1} = \frac{- 18}{1 0 ^{0}} \in D$

On voit très bien que $N \subset D$ , tout comme $Z^{-} \subset D$

Les nombres rationnels

[kezakoo section ="definition"]

Prenons $\frac{1}{3} = 0, 3333....... \in / D$ .

$\frac{1}{3}$ est un nombre rationnel.

Le terme "rationnel" provient du mot latin "ratio" qui veut dire à son tour "fraction".

Chaque nombre rationnel peut s'écrire sous la forme $\frac{p}{q}$ avec $p$ et $q$ deux entiers ( évidemment $q$ est différent de 0, on préfère en général avoir $p$ élément de $Z$ et $q$ élément de $N^{*}$ )

L'ensemble des nombres rationnels est noté $Q$

[kezakoo section ="attention"]

On a $D \subset Q$ mais $Q \neq \subset D$

[kezakoo section ="remarque"]

De même que pour les ensembles vus précédemment , nous avons les notions de $Q^{*}$ , $Q^{+}$ et $Q^{-}$
$\frac{1}{3} \in Q$ mais $\frac{1}{3} \in / D$ . En même temps $\frac{1}{5} \in Q$ et $\frac{1}{5} \in D$
Tout nombre rationnel admet une infinité d'écritures sous forme de fraction, toutefois la forme irréductible est la forme privilégiée. Par exemple $\frac{2}{5} \frac{4}{10} = \frac{8}{20} .....$ mais la forme privilégiée est la forme irréductible c'est à dire $\frac{2}{5}$ .
$\frac{2}{5}$ est une fraction et $0, 4$ est son développement décimal.

Qu'est ce que le développement décimal d'un nombre rationnel?

[kezakoo section ="exemple"]

$\frac{1}{3} = 0, 3333.... = 0, 3 ˉ$

$\frac{1}{11} = 0, 09090909.... = 0, 09 ˉ$

$\frac{4}{13} = 0, 30769230769.... = 0, 307692 ˉ$

[kezakoo section ="theoreme"]

Dans le développement décimal de tout nombre rationnel, il y a une suite de chiffres qui se répète indéfiniment. On l'appelle "période" de ce nombre rationnel.

PS : Ce théorème est valable pour les nombres rationnels non décimaux.

Les nombres réels

[kezakoo section ="definition"]

Certains nombre comme $p i$ ou comme $2$ ne peuvent pas être écrits sous forme de fraction. Ce sont des nombres dits irrationnels.

Dans l'absolu, les nombres irrationnels et les nombres rationnels forment un plus grand ensemble à eux deux réunis. Cet ensemble est dit l'ensemble des réels, et on le note $R$ .

Voici quelques propriétés :

$N \subset Z \subset D \subset Q \subset R$
$R^{*}$ est l'ensemble des réels non nuls.
$R^{+}$ est l'ensemble des nombres réels positifs.
$R^{-}$ est l'ensemble des nombres réels négatifs.
$R^{+*}$ est l'ensemble des nombres réels strictement positifs.
$R_{+} ⊔ R_{-} = R$
$R_{+} \cap R_{-} =$ {0}

Règles de calcul

Fractions

Soient $a, b, c$ et $d$ des nombres réels avec $b \neq = 0$ et $d \neq = 0$ .

On a :

$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a d + b c}{b d}$
$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a d - b c}{b d}$
$\frac{a}{b} * \frac{c}{d} = \frac{a c}{b d}$
$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} * \frac{d}{c} = \frac{a d}{b c}$ ( attention, ici c doit être différente de 0).

Racines carrées

[kezakoo section ="definition"]

La racine carrée d'un nombre positif $x$ est le nombre positif a qui remplit la condition $a^{2} = x$ . Le nombre $a$ est noté $x$

Identités remarquables

Soint $a$ et $b$ deux réels.

On a les identités remarquables suivantes :

Celles qu'on a vues au collège

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$
$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$
$(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$

Développer puissances de 3

$(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 b^{2} a + b^{3}$
$(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 b^{2} a - b^{3}$

Factoriser les puissances de 3

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$
$a^{3} + b^{3} = (a - b) (a^{2} - ab + b^{2})$

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Fractions

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Identités remarquables

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